欧尔条件

在交换整环里你可以自由地构造分数：a/b 就是 a/b，并且你总能通过交叉相乘找到公分母。在非交换环里，这个看似无害的操作崩溃了，因为 a/b 与 1/b 乘 a 不再显然相同，你也不能盲目交叉相乘。欧尔条件正是你必须施加的精确相容性，以便能够构造出一个合理的分式环——它保证任何左分式都能改写成右分式。

确切地说，设 R 是环，S 是一个乘法封闭的候选分母集合。右欧尔条件说，对每个 a 属于 R 与 s 属于 S，右倍数集合 a*S 与 s*R 相交：存在 b 属于 R 与 t 属于 S 使得 a*t = s*b。当 R 是整环且 S 是全体非零元时，这恰是允许你构造右分式除环 R*S^(-1) 的条件，其中每个元素写成 a*s^(-1)。

回报是一条局部化定理：若 S 满足欧尔条件（外加一个在整环中自动成立的温和可逆性假设），则局部化 R*S^(-1) 存在、在 R 上平坦，且每个元素都有 a*s^(-1) 的形式。欧尔整环——非零元满足该条件的整环——恰是嵌入某个分式除环的非交换整环，即分式域的正确推广。

一个诚实的告诫：并非每个非交换整环都是欧尔整环。两个生成元上的自由代数 k⟨x, y⟩ 是一个不满足欧尔条件的整环，而且它确实无法以朴素方式作为分式环嵌入任何除环。所以欧尔条件是一个真实的限制；诺特整环满足它，这便是为何实践中如此多的环——外尔代数、李代数的包络代数——确实容许分式除环。