斜多项式环

普通多项式环 R[x] 让 x 与所有系数平静地交换：x*a = a*x。斜多项式环保留同样的多项式，却改写了把 x 移过系数的规则，借助基环的一个自同态把它扭转。如今 x*a 等于 sigma(a)*x（sigma 是某固定自同态），所以把 x 拖到左边会变换每个系数。它是多项式环的非交换表亲，专为编码移位、弗罗贝尼乌斯或导子这类扭转而生。

确切地说，给定环 R 与 R 的环自同态 sigma，斜多项式环 R[x; sigma] 由左多项式 a_0 + a_1*x + ... + a_n*x^n 构成，其乘法由唯一规则 x*a = sigma(a)*x（对所有 a 属于 R）强制。更一般地，欧尔扩张 R[x; sigma, delta] 还允许一个 sigma-导子 delta，给出规则 x*a = sigma(a)*x + delta(a)，它同时推广斜多项式与微分算子。

这些环是一座多用途的例子工厂。取 sigma 为恒等而 delta 为普通导子，R[x; 1, delta] 是一个微分算子环——外尔代数正是这样由 k[t] 配以 delta = d/dt 产生。取 delta = 0 而 sigma 为非平凡自同构，便得到对 q-差分方程与量子代数至关重要的扭转移位代数。许多量子平面与量子群都由迭代欧尔扩张构造。

当基环良好时它们继承良好的结构：若 R 是除环且 sigma 是自同构，则 R[x; sigma, delta] 是左、右主理想整环，其中成立一个非交换的带余除法，故可做欧几里得式的算术。这使斜多项式环成为一个受控、可计算的游乐场，许多非交换代数的现象都能在其中被显式展示。