量子群

量子群根本不是群——它是把两个经典“群形”霍普夫代数之一通过将参数 q 从 1 拨开而形变得到的霍普夫代数。在 q = 1 时恢复普通对象（坐标环或包络代数）；对一般的 q，乘法与余乘法扭曲成既非交换又非余交换的东西，但所有霍普夫公理依旧成立。这名称暗示与量子化的类比，那里一个参数把交换的经典理论形变为非交换的量子理论。

具体地，两个对偶族是标准的。形变坐标代数 O_q(G) 形变群上的函数，形变包络代数 U_q(g) 形变半单李代数 g 的泛包络代数；它们由德林费尔德与神保于 1985 年前后独立引入。例如 O_q(SL_2) 由 a, b, c, d 生成，带形如 ab = q ba 的关系，及量子行列式 ad - q bc = 1，在 q = 1 时恢复交换的 SL_2。

量子群不仅是猎奇之物：它们通常是拟三角的，带有解杨–巴克斯特方程的 R-矩阵，故其模范畴是辫化的。这使它们成为量子可积系统、诸如琼斯多项式的纽结与链环不变量、以及三维拓扑量子场论背后的代数引擎。