拟三角霍普夫代数

余交换霍普夫代数是对称的：把它的两个表示张量再交换因子毫无代价。多数量子群不余交换，故朴素交换不是模映射——它不尊重作用。拟三角结构是受控的疗法：一个额外元素 R，度量余交换性的失败，并把交换修复成真正的辫化。它是使非余交换霍普夫代数表现得辫化的最小数据。

形式地，拟三角霍普夫代数是对 (H, R)，其中 H 是霍普夫代数，R ∈ H ⊗ H 是可逆元，即万有 R-矩阵，满足对所有 h ∈ H 有 τ(Δ(h)) = R Δ(h) R^{-1}，连同 (Δ ⊗ id)(R) = R_{13} R_{23} 与 (id ⊗ Δ)(R) = R_{13} R_{12}。第一关系说 R 把 Δ 与反向余积缠结，恰是余交换性的障碍。

回报是范畴性的：若 (H, R) 是拟三角的，其（左）模范畴是辫化幺半的，辫化为 c_{V,W}(v ⊗ w) = τ(R · (v ⊗ w))。R-矩阵公理迫使辫化满足六边形，从而满足杨–巴克斯特方程。德林费尔德–神保量子群 U_q(g) 是拟三角的，这正是其表示论喂养纽结不变量与可积系统的原因。