霍普夫代数

霍普夫代数是群的代数提炼。群有三种运算：乘、取单位、取逆。把它们翻译为群函数空间上的线性代数，便分别得到一个乘法、一个单位，以及——逆运算的对偶——对极，它们位于编码群法则的余乘法与余单位之上。霍普夫代数就是具备所有这些公理的任何结构，无论是否来自真正的群。

形式地，k 上的霍普夫代数是双代数 (H, m, u, Δ, ε) 连同线性映射 S : H -> H，即对极，满足 m ∘ (S ⊗ id) ∘ Δ = u ∘ ε = m ∘ (id ⊗ S) ∘ Δ。用斯威德勒记号这是 Σ S(c(1)) c(2) = ε(c) 1 = Σ c(1) S(c(2))。对极是卷积代数 Hom(H, H) 中恒等映射的卷积逆。

两个基础例子互相对偶。群代数 k[G] 是余交换的，Δ(g) = g ⊗ g，ε(g) = 1，S(g) = g^{-1}。它的受限对偶是 G 上表示函数的代数，它是交换的；对代数群 G 这就是坐标环 O(G)。量子群作为既不交换又不余交换的单参数形变，插在这两个世界之间。