双代数

双代数是同时戴着两顶帽子的向量空间：它是代数（你能乘元素）又是余代数（你能余乘元素），而关键在于两种结构相容。相容意味着余乘法本身是代数映射——拆分乘积等同于乘各自的拆分。这一条相容条件把两个世界熔为一体。

形式地，在 k 上，双代数是元组 (H, m, u, Δ, ε)，其中 (H, m, u) 是结合幺代数，(H, Δ, ε) 是余代数，且 Δ : H -> H ⊗ H 与 ε : H -> k 是代数同态。等价地，m : H ⊗ H -> H 与 u : k -> H 是余代数同态；两种表述是同一公理。这里 H ⊗ H 带有张量积的代数与余代数结构。

双代数比霍普夫代数低一级：霍普夫代数是带额外映射——对极——的双代数。许多自然对象是恰好也是霍普夫代数的双代数——群代数、泛包络代数、带 Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x 的多项式环 k[x]——但也有没有对极的双代数，例如自然数乘法幺半群上函数的多项式双代数 k[N]。