余代数

普通代数让你把两个东西合并成一个——乘法是合并。余代数做镜像的事情：它让你把一个东西拆分成一些对的和。如果你想象把代数的箭头反过来，就得到余代数。前缀“余”总是暗示这种“反转箭头”的哲学，而它出人意料地富有成果。

形式地说，在域 k 上，余代数是一个向量空间 C，配备两个线性映射：余乘法 Δ : C -> C ⊗ C 与余单位 ε : C -> k。它们必须满足与结合律、单位律对偶的公理。余结合律说 (Δ ⊗ id) ∘ Δ = (id ⊗ Δ) ∘ Δ 作为 C -> C ⊗ C ⊗ C 的映射成立，余单位公理说在典范同构 k ⊗ C ≅ C ≅ C ⊗ k 下 (ε ⊗ id) ∘ Δ = id = (id ⊗ ε) ∘ Δ。

这种对偶是精确的：若 A 是有限维代数，则其线性对偶 A* = Hom(A, k) 自然地是余代数，因为乘法 A ⊗ A -> A 的对偶是映射 A* -> (A ⊗ A)* ≅ A* ⊗ A*。在无限维时必须小心，因为 (A ⊗ A)* 一般比 A* ⊗ A* 大，代数的对偶只有过渡到适当的受限对偶后才是余代数。