余单位

代数有单位：一个特殊元素 1，与它相乘什么也不改变。对偶地，余代数有余单位：一个特殊的线性泛函 ε，当你余乘后再求值一个因子时——在适当意义下——它什么也不改变。它是拆分运算必须尊重的“无所作为的可观测量”。

形式地，余代数 C 的余单位是满足 (ε ⊗ id) ∘ Δ = id = (id ⊗ ε) ∘ Δ 的线性映射 ε : C -> k，这里我们认同 k ⊗ C ≅ C ≅ C ⊗ k。用斯威德勒记号写 Δ(c) = Σ c(1) ⊗ c(2)，该公理读作 Σ ε(c(1)) c(2) = c = Σ c(1) ε(c(2))。因此把 ε 作用到余积的一条腿并收缩，便重建出原元素。

与单位的对偶是精确的。若 A 是带单位映射 u : k -> A、1 ↦ u(1) 的有限维代数，则对偶映射 u* : A* -> k 恰是对偶余代数 A* 的余单位。对群上的函数代数 k[G]，余单位是在单位元处求值：ε(f) = f(e)。