余乘法

乘法把两个输入融合成一个输出。余乘法，常称为余积，反方向运行：它取一个元素并产生张量对的和，告诉你该元素可以“拆成”两块的所有方式。对群上的函数，余乘法编码群的乘法：在乘积处的值通过在因子处的值来表达。

确切地说，向量空间 C 上的余乘法是一个线性映射 Δ : C -> C ⊗ C，它是余结合的：(Δ ⊗ id) ∘ Δ = (id ⊗ Δ) ∘ Δ。余结合律让你能无歧义地写出迭代余积，正如普通结合律让你在乘积中去掉括号。与相容的余单位一起，余乘法使 C 成为余代数。

启发性的几何图像：若 G 是有限群且 C = k[G] 是 G 上的函数空间，则 Δ(f) 是 G × G 上由 Δ(f)(x, y) = f(xy) 给出的函数，视为在 k[G] ⊗ k[G] ≅ k[G × G] 内。因此余乘法实际上就是群法则的对偶，即沿乘法的拉回。量子群正是通过形变这个映射、同时保持余结合律而产生的。