对极

在群中，每个元素都有逆。当你把群换成霍普夫代数后，“取逆”就变成对极。它是一个线性映射 S，与余积的拆分再相乘的机制结合时，把一切抵消到余单位——恰如元素乘以其逆塌缩为单位。所以对极是逆运算在霍普夫代数中的影子。

确切地说，霍普夫代数 H 的对极是卷积代数 (Hom(H, H), *, u∘ε) 中恒等映射 id_H 的双侧卷积逆。即 S 满足 S * id = u ∘ ε = id * S，用斯威德勒记号读作 Σ S(c(1)) c(2) = ε(c) 1 = Σ c(1) S(c(2))。由于卷积逆存在时唯一，对极由双代数结构唯一确定。

对极对两种结构总是反同态：S(ab) = S(b)S(a) 且 (S ⊗ S) ∘ Δ = τ ∘ Δ ∘ S，其中 τ 是翻转。作为线性映射它不必可逆，不过只要 H 交换或余交换就有 S² = id。在群代数中 S(g) = g^{-1}，故 S² = id；在真正的量子群中 S² 是非平凡的内型自同构，这是它们非（余）交换性的一个征象。