霍普夫代数与量子群
卷积积
设你有余代数 C（能拆分元素）与代数 A（能乘元素）。则任意两个从 C 到 A 的线性映射都可组合：用余积拆分输入，将每块送过其中一个映射，再在 A 中把结果乘回去。这一配方就是卷积积，它使全体线性映射的空间 Hom(C, A) 自身成为代数。
形式地，对 f, g ∈ Hom(C, A)，卷积 f * g 定义为 f * g = m_A ∘ (f ⊗ g) ∘ Δ_C。用斯威德勒记号，(f * g)(c) = Σ f(c(1)) g(c(2))。带此积的 Hom(C, A) 是结合代数；其单位是复合 u_A ∘ ε_C，即把 c 送到 ε(c) 1_A 的映射。卷积的结合性源于 Δ 的余结合性与 m 的结合性。
卷积是对极的概念归宿：在双代数 H 中，对极按定义就是 Hom(H, H) 中恒等映射的卷积逆。这名称来自经典分析——群上函数的卷积 (f * g)(x) = Σ f(y) g(y^{-1}x)，正是有限群函数霍普夫代数下的这一构造，其中 Δ 编码群法则。
取 C = A = k[G]。恒等映射 id 与对极 S 都在 Hom(k[G], k[G]) 中。则 (S * id)(g) = Σ S(g(1)) g(2) = S(g) g = g^{-1} g = e = ε(g) 1，故 S 是 id 的卷积逆，重现对极公理。
对极公理就是卷积代数中的等式 S * id = 单位。
又称
另见