幂等元

幂等元是与自身相乘后保持不变的元素——平方它什么也不改变。想象一个投影：一旦施加，对已经落在其像中的东西就不再有任何作用，做两次和做一次效果相同。幂等元是环如何分裂成相互独立部分的代数指纹。

严格地说，环 R 中的元素 e 称为幂等的，如果 e^2 = e。元素 0 与 1 总是幂等的，称为平凡幂等元；与它们不同的幂等元称为非平凡的。两个幂等元 e 与 f 称为正交的，如果 e·f = f·e = 0；幂等元称为中心的，如果它与 R 中每个元素可交换。

其结构意义在于分解。一个非平凡的中心幂等元 e 诱导一个直积分解 R ≅ eR × (1 − e)R，把环分裂成两个更小的环。没有非平凡幂等元的环称为连通的（在几何图景中其谱是连通的）。幂等元还分类模的直和项——模分解 M = A ⊕ B 对应于一个投影到 A 的幂等自同态——这正是它们在投影模理论与格罗滕迪克群 K_0 中居于核心的原因。