幂等完备化
幂等元是一种自投影：满足 e^2 = e 的自同态，像一个挑出某一部分并使之保持不动的映射。理想地说，这样的投影应当分裂——它的像应是范畴中真实存在的对象，是一个直和项。但在许多范畴中，这个像却付之阙如，像没有实体的影子。幂等完备化正是补上这些缺失实体的操作：你为每个幂等元的像形式地添入一个对象，使一切投影都分裂。
给定加性范畴 A，其幂等完备化（或卡鲁比包络）A-帽的对象是数对 (X, e)，其中 X 属于 A 而 e: X -> X 是幂等元，e^2 = e。从 (X, e) 到 (Y, f) 的态射是 A 中满足 f g e = g 的映射 g: X -> Y。原对象 X 成为 (X, id_X)，给出全忠实嵌入 A -> A-帽，而在 A-帽中每个幂等元都分裂：(X, e) 是 (X, id_X) 的一个直和项，与 (X, 1 - e) 互补。当此嵌入本身已是等价时，称该范畴幂等完备，或卡鲁比的。
幂等完备化对 K 理论之所以要紧，是因为 K_0 对它敏感而高阶 K 群不然：包含 A -> A-帽 诱导单射 K_0(A) -> K_0(A-帽)，它未必是满射；而对 n 至少为 1，它诱导 K_n 上的同构（属于共尾性一圈思想中的一条定理）。从实践看，这正是人们采用有限生成投射模的缘由——它们恰是自由模的幂等完备化，因为投射模按定义就是某个幂等矩阵的像。
设 A 为有限生成自由 R 模的范畴。它的幂等完备化是有限生成投射 R 模的范畴：投射模 P 是某矩阵环 M_n(R) 中幂等元 e = e^2 的像，即对象 (R^n, e)。因此，除非每个投射模都稳定自由，自由模的 K_0 未必等于 K_0(R)。
投射模是自由模的幂等完备化。
幂等完备化本身是一种类似左伴随的普适构造：A-帽是 A 上自由的幂等完备加性范畴，故任何从 A 到某幂等完备范畴的加性函子都唯一地（至多差自然同构）经由 A -> A-帽 延拓。完备两次不会带来新东西——A-帽本身已是幂等完备的。