代数K理论
正合范畴
要构建 K 理论，你需要按这样的规则清点对象：在任何短正合列中，中间的对象等于两端之和。但许多自然的对象族——有限生成投射模、向量丛、带过滤的对象——并非阿贝尔范畴，因而没有内禀的正合概念。正合范畴正是修补此缺的最小附加结构：你只需在合理的公理下指明哪些短序列算作正合，这便足以驱动整套 K 理论机器。
奎伦意义下的正合范畴，是一个加性范畴 A 连同一类被选定的序列 0 -> A -> B -> C -> 0，称为容许短正合列（或合流列），其中映射 A -> B 称为容许单态、B -> C 称为容许满态。所选之类须满足公理：恒等态容许，该类在同构下封闭并含全部分裂序列，容许单态与满态分别在推出与拉回下稳定，容许单态/满态在复合下封闭。等价地，A 是某阿贝尔范畴中在扩张下封闭的满加性子范畴，正合列由周围阿贝尔范畴继承。
给定正合范畴 A，奎伦的 Q 构造产生一个拓扑空间，其同伦群即 K 群 K_n(A)；在零阶它复原格罗滕迪克群 K_0(A)——由对象生成、对每个容许正合列取商 [B] = [A] + [C]。这正是统一定义概形（经由向量丛或凝聚层）与环的 K 理论的框架，也是证明局部化定理与分解定理的框架。
有限生成投射 R 模的范畴是正合范畴，容许正合列即分裂的那些（每个以投射模为末端的短正合列皆分裂）。它的 K 理论就是环 R 的 K 理论。相比之下，所有有限生成 R 模构成阿贝尔范畴，其 K 理论是 R 的 G 理论。
投射模构成正合范畴；其 K 理论即 K(R)。
每个阿贝尔范畴在选取其全部短正合列后即为正合范畴，而每个在扩张下封闭的满子范畴都继承正合结构。一句口号是：正合性是你所选取的结构，而非你所具备的性质——正是这一点使 K 理论能施于非阿贝尔的范畴，如有限生成投射模。
又称
另见