高阶K群
K_0、K_1、K_2 是逐个被发现的，各由一种手工搭建的不同构造得出，曾有一段时间人们并不清楚它们属于同一个无限族。奎伦的突破在于把所有 K 群一次性地定义为附属于某个环或范畴的单一空间的同伦群。一旦有了这样的空间，它的高阶同伦群就直接是高阶 K 群，而先前那些临时的定义便作为这架统一阶梯的最低几级自然落下。
有两种等价的构造。加法构造：取分类空间 BGL(R)，关于完全子群 E(R) 施加奎伦加法构造得 BGL(R)^+，并对 n 至少为 1 定义 K_n(R) = pi_n(BGL(R)^+)，连同单独定义为格罗滕迪克群的 K_0(R)。Q 构造：对正合范畴 A，构作奎伦 Q 范畴 QA，取其分类空间 BQA，令 K_n(A) = pi_{n+1}(BQA, 0)；当 A 取投射模时它们与加法构造的群一致。二者都使 K 理论成为一列函子 K_n。
高阶 K 群确实深刻，且大多尚未算出。奎伦本人算出了有限域的情形：当 i 至少为 1 时 K_{2i-1}(F_q) = Z/(q^i - 1)Z 且 K_{2i}(F_q) = 0。对整数，群 K_n(Z) 与黎曼 zeta 函数的值以及范迪弗猜想相联系，许多仍悬而未决。高阶 K 理论满足若干有力的结构定理——加性、局部化、剥皮（dévissage）、分解——使其在有利情形下可计算，尽管一般而言困难重重。
对含 4 个元素的域 F_4，K_1(F_4) = F_4^* = Z/3Z，K_2(F_4) = 0，K_3(F_4) = Z/15Z（因 q^2 - 1 = 15），K_4(F_4) = 0。规律 K_{2i-1} = Z/(4^i - 1)Z、K_{2i} = 0 对所有 i 至少为 1 持续成立。
奎伦对有限域 K 群的计算。
两种构造相符是一条定理，而非定义；奎伦证明了对投射模而言加法构造与 Q 构造给出相同的群。后来的模型——瓦尔德豪森的 S 点构造、谱、以及动机/高阶范畴的方法——把适用范围扩展到（如带余纤维化的范畴等）原构造不能直接适用的情形。