加法构造
有时一个空间的基本群过大而无用，可你又不愿扰动它的同调。奎伦的加法构造是一件外科工具，它在不改动任何同调的前提下，杀掉基本群中所选定的一块良性部分。它正是把 GL(R) 的群论数据——一个群，故其自身是个无趣味高阶同伦的空间——转化为高阶同伦群即高阶 K 群的空间的桥梁。
设 X 为连通 CW 复形，P 为 pi_1(X) 的一个完全正规子群。加法构造产生一个空间 X^+ 连同映射 X -> X^+，使得 pi_1(X^+) = pi_1(X) / P，且该映射对任何由 X^+ 拉回的局部系数系统诱导同调上的同构。具体地，先黏 2 维胞腔以杀掉 P（改变同调），再黏 3 维胞腔以修复同调的损伤；P 的完全性恰好使此修复成为可能。所得 X^+ 在 X 之上的同伦等价意义下唯一。
施于 X = BGL(R)，即无限一般线性群的分类空间，取 P = E(R) 初等子群（由怀特海引理它是完全群），便得 BGL(R)^+。奎伦对 n 至少为 1 定义 K_n(R) = pi_n(BGL(R)^+)。这复原了 K_1(R) = pi_1 = GL/E 与 K_2(R) = pi_2 = E(R) 的舒尔乘子，并统一地产生全部高阶 K 群。同一思想施于对称幺半范畴的群完备化，给出范畴的 K 理论。
对 R = Z，pi_1(BGL(Z)^+) = K_1(Z) = Z/2Z，pi_2 = K_2(Z) = Z/2Z，而 pi_3 = K_3(Z) = Z/48Z。加法构造把 GL(Z) 的同调——一个困难但原则上可及的对象——转化为这些同伦群，即整数的高阶 K 理论。
K_n(Z) = pi_n(BGL(Z)^+)：K_1, K_2 = Z/2Z，K_3 = Z/48Z。
空间 BGL(R)^+ 是无限环路空间，故诸 K 群拼成一个谱——K 理论谱 K(R)——的同伦群。这一额外结构从单纯的加法构造看不出来，却正是使 K 理论成为带乘积与运算的广义上同调理论的根据。