一般线性群（K理论）
在 K 理论中，人们很少关心固定尺寸的矩阵；要紧的是那些在沿对角线补入额外的 1 之后仍然保持的性质。无限一般线性群正是把这种补缀正式化的装置：它是所有有限一般线性群的并，粘合的方式使得一个 n 阶矩阵与把它镶边成 (n+1) 阶的同一矩阵直接成为同一个元素。如此稳定化，便抚平了那些遮蔽更深层不变量的低秩偶然现象。
形式地说，对环 R 构造有向系统 GL(1, R) -> GL(2, R) -> GL(3, R) -> ...，其中 GL(n, R) -> GL(n+1, R) 把 A 送到分块矩阵 [A, 0; 0, 1]。无限一般线性群 GL(R) 是此系统的正向极限（余极限），等价地是仅在有限多个元处异于单位阵的可逆无限矩阵之群。每个元素都落在某个 GL(n, R) 中，且两个元素在 GL(R) 中相等当且仅当它们稳定地纳入共同的 GL(N, R) 后相符。
GL(R) 是高阶 K 理论的主力。它的阿贝尔化是 K_1(R)；它的换位子群是初等群 E(R)；而对分类空间 BGL(R) 施加奎伦的加法构造，便得到一个空间，其同伦群正是高阶 K 群 K_n(R)（n 至少为 1）。于是 K_0 之上几乎全部的 K 理论，都编码在这一个稳定化线性群的同伦型之中。
取 R 为域 F。GL(F) 的一个元素是某有限尺寸、元素属于 F 的可逆矩阵，并按添加单位块视为相等。它在阿贝尔化 K_1(F) = F^* 中的像就是其行列式；行列式之所以良定，正因为 det[A, 0; 0, 1] = det A。
GL(F) 是 GL(n, F) 的递增并，由单位块补缀。
稳定化不可或缺，因为非稳定群 GL(n, R) 的同调要等 n 增大才安定下来；极限 GL(R) 的同调即把这一同调稳定区间永久化。奎伦的加法构造恰是把这一群同调转化为同伦群而保其不变的工具。