初等矩阵
你能对一个矩阵做的最简单的非平凡操作，便是把一行的某个倍数加到另一行上。执行这一单步操作的矩阵——单位阵在对角线外多出一个元素——就是初等矩阵。它们是高斯消元的原子，而在 K 理论中它们扮演着“可被忽略的操作”的角色：K_1 正是把它们生成的子群取商之后所残存者。
对环 R、互异指标 i 与 j 以及环元素 r，初等矩阵 e_{ij}(r) 是除位置 (i, j) 处为 r 外都与单位阵相同的矩阵。这些矩阵满足干净的关系：e_{ij}(r) e_{ij}(s) = e_{ij}(r + s)（故每个固定的对 (i, j) 给出一个同构于 R 加法群的子群），以及描述 [e_{ij}(r), e_{kl}(s)] 如何依指标重叠方式而定的斯坦伯格换位关系。GL(n, R) 中由全体 e_{ij}(r) 生成的子群是初等群 E(n, R)，其稳定并即 E(R)。
每个 e_{ij}(r) 行列式为 1，故 E(R) 含于 SL(R) 内。在域上、或任一欧几里得整环上，高斯消元表明 E(n, R) = SL(n, R)，即初等矩阵生成全部行列式为 1 的矩阵。在更一般的环上这可能失效，而差距 SL(R) / E(R) 正是 SK_1 所度量者的一部分。初等矩阵也是斯坦伯格群的几何源头，后者的抽象呈示恰好复制了这些关系。
在 GL(2, R) 中，e_{12}(r) = [1, r; 0, 1]，e_{21}(s) = [1, 0; s, 1]。它们的乘积 e_{12}(r) e_{21}(s) = [1 + rs, r; s, 1] 已处处具有非平凡元素，表明只需几个初等动作便能生出复杂的矩阵。
两个 2x2 初等矩阵及其乘积。
需注意：代数学家所说的初等矩阵仅指切变矩阵 e_{ij}(r)；本科线性代数课程中的行伸缩与行交换矩阵被有意排除，因为伸缩携带行列式信息，而 K_1 的设计正是要保留而非丢弃它。