斯坦伯格群
初等矩阵服从某些交换法则，于是你可以发问：若取一些只服从这些法则的符号、彻底忘掉它们是矩阵，会得到什么群？答案就是斯坦伯格群。它是在尊重已知关系的前提下满射到初等群之上的最有效率的群——而出人意料的是，它比初等群略大。这多出的余量，即返回矩阵之映射的核，恰恰就是 K_2。
对环 R 及 n 至少为 3，斯坦伯格群 St(n, R) 由符号 x_{ij}(r) 生成，每对互异指标 i, j（属于 {1, ..., n}）与每个 r（属于 R）各有一个，并满足：x_{ij}(r) x_{ij}(s) = x_{ij}(r + s)；当 i, j, k 互异时换位子 [x_{ij}(r), x_{jk}(s)] = x_{ik}(rs)；当 j 不等于 k 且 i 不等于 l 时 [x_{ij}(r), x_{kl}(s)] = 1。稳定斯坦伯格群 St(R) 是关于 n 的正向极限。映射 x_{ij}(r) -> e_{ij}(r) 定义了满射 St(R) -> E(R)。
核心事实是：St(R) 是完全群 E(R) 的万有中心扩张，而 St(R) -> E(R) 的核是它的中心，按定义等于 K_2(R)。等价地，1 -> K_2(R) -> St(R) -> E(R) -> 1 是万有中心扩张。于是斯坦伯格群正是产生 K_2 的精确代数机制：它抽象地构造出初等矩阵之间的关系，而其中出人意料的那些便构成了第二个 K 群。
斯坦伯格关系 [x_{ij}(r), x_{jk}(s)] = x_{ik}(rs) 忠实地映照了 E(R) 中的矩阵恒等式 [e_{ij}(r), e_{jk}(s)] = e_{ik}(rs)。那些在 E(R) 中映为单位元、却未被迫在 St(R) 中平凡的元素，生成 K_2(R)。
St(R) 把初等矩阵的关系抽象化。
完全群（等于自身换位子群的群）有唯一的万有中心扩张，其核是该群的舒尔乘子 H_2。由于 E(R) 是完全群，故 K_2(R) 恰为 H_2(E(R), Z)，从而把 K_2 系于群同调。