群与伽罗瓦上同调
舒尔乘子
群的舒尔乘子是单独一个阿贝尔群，它把该群成为中心扩张的所有方式打包起来。舒尔引入它是为回答一个表示论难题：有限群有时只能被射影地表示，矩阵相乘差一个标量，而乘子恰好度量把这些射影表示拉直为普通表示的阻碍。它是依附于群隐藏的“扭动预算”的典范不变量。
具体地，群 G 的舒尔乘子是带整数系数与平凡作用的第二同调群 M(G) = H_2(G, Z)。对有限群它是有限的，且由万有系数定理同构于 H^2(G, C^*)，即分类 G 关于圆群的中心扩张、等价地分类射影表示之类的群。乘子是函子性的，且在乘积下表现良好：M(G × H) 包含 M(G) ⊕ M(H) ⊕ (G^ab ⊗ H^ab)。
对完全群 G（等于自身换位子群者），存在一个泛中心扩张 1 -> M(G) -> Ĝ -> G -> 1，其中 Ĝ 是唯一自身完全且覆盖其余一切的中心扩张；M(G) 是它的核，即代数意义下 G 的基本群。舒尔乘子贯穿有限群论——它是有限单群分类数据的一部分，其中每个单群都带有掌控其覆盖的已知乘子。
交错群 A_5 的舒尔乘子是 Z/2Z，其泛中心扩张是二元二十面体群 SL(2, 5)，一个阶为 120 的完全群，是 A_5 的二重覆盖。故 A_5 拥有并非来自线性表示的射影表示，恰由这个 Z/2Z 计量。
A_5 的乘子为 Z/2Z，由二重覆盖 SL(2, 5) 实现。
又称
另见