同调

同调回答了关于链复形的一个听起来简单的问题：哪些闭链不是边缘？闭链是“闭合起来”的东西（下一个映射把它送为零）；边缘则是已经从上一阶段产生出来的东西。若每个闭链都是边缘，复形便正合而无趣。同调把剩下的闭链——真正的“洞”——收集成一串模，并在合理的变形下保持不变。

给定链复形 (C, d)，第 n 个同调模为商 H_n(C) = ker(d_n) / im(d_{n+1})。它之所以良定，恰因 d^2 = 0 保证 im(d_{n+1}) 是 ker(d_n) 的子模。H_n 中的元素称为同调类，对闭链 z 记作 [z]；两个闭链若相差一个边缘则称为同调的。复形在 C_n 处正合，当且仅当 H_n(C) = 0。

同调是函子性的：链映射 f : C -> D 诱导同态 H_n(f) : H_n(C) -> H_n(D)，且链同伦的映射在同调上诱导相同的映射。正是这种不变性使同调可计算——人们用一个同伦等价的更简单复形替换复杂复形而不改变答案。在拓扑中 H_n 探测 n 维的洞；在代数中同一套机器度量任何所写复形正合性的失败程度。