上同调

上同调就是把同调反着读。同调通过追问链复形中哪些闭链不是边缘来度量洞，上同调则对上链复形提出同样的问题，而其映射是提升次数而非降低次数。方向的改变并非表面文章：上同调类常常是空间上的函数或度量，它们彼此相乘，赋予上同调一个同调所没有的环结构。

对于上链复形 (C, d)，其中 d^n : C^n -> C^{n+1}，第 n 个上同调为 H^n(C) = ker(d^n) / im(d^{n-1})。ker(d^n) 中的元素是上闭链，im(d^{n-1}) 中的元素是上边缘，上同调类即模去上边缘的上闭链。与同调相同，H^n(C) = 0 当且仅当复形在 C^n 处正合。

由于 Hom(-, M) 是反变的，对自由模或投射模的链复形施加它会产生一个上链复形，其上同调按定义即带系数 M 的上同调。H_n 与 H^n 之间的关系由万有系数定理刻画，在域上给出 H^n ≅ Hom(H_n, M)，但在 Z 上会引入一个涉及 Ext 的修正项。群、伽罗瓦、德拉姆、层等各种上同调理论，都是这一单一构造施加于合适上链复形上的实例。