上积

上积是一种把上同调类相乘的方式，它把一串分次的阿贝尔群变成一个环。每个次数上的上同调由作为函数的上链构建；上积只是把两个这样的函数相乘——把连续的自变量分别喂给两个因子——再验证这尊重上闭链与上边缘的结构。其回报是：作为环的上同调比作为一列群携带多得多的信息。

对带模 A 与 B（经一个 G 等变双线性映射 A ⊗ B -> C 配对到模 C）的群 G，上积是映射 H^p(G, A) ⊗ H^q(G, B) -> H^{p+q}(G, C)。在非齐次上链上它由 (f ∪ h)(g_1, ..., g_{p+q}) = f(g_1, ..., g_p) · (g_1 ... g_p)·h(g_{p+1}, ..., g_{p+q}) 给出。可验证 d(f ∪ h) = df ∪ h ± f ∪ dh，故该积下降到上同调，并在类上良定。

上积是结合的且分次交换的：对次数 p 与 q 的类有 x ∪ y = (-1)^{pq} y ∪ x。取平凡模 Z，全上同调 H^*(G, Z) = ⊕_n H^n(G, Z) 成为分次交换环，即 G 的上同调环，是有限群中被深入研究的有力不变量。在伽罗瓦上同调中，上积拼装出局部与整体配对（如希尔伯特符号与泰特对偶），它们处于类域论的核心。