上链复形

上链复形与链复形是同一个想法，只是箭头反向：沿每个映射次数不再下降 1，而是上升 1。可以把它想成爬楼梯而非下楼梯。这种记号上的选择很重要，因为上同调——由上链复形构建的同调版本——正是乘积及其他附加结构自然栖身之处。

具体地说，环 R 上的上链复形是一串 ... -> C^{n-1} -> C^n -> C^{n+1} -> ...，其中映射 d^n : C^n -> C^{n+1}（称为上边界映射）满足 d^{n+1} ∘ d^n = 0。ker(d^n) 中的元素称为 n 阶上闭链（cocycle），im(d^{n-1}) 中的元素称为 n 阶上边缘（coboundary）。条件 d^2 = 0 同样迫使每个上边缘都是上闭链，而在 C^n 处正合意味着 im(d^{n-1}) = ker(d^n)。

写成链复形还是上链复形，纯粹是指标约定问题：把 C^n 重新标记为 C_{-n} 就能互相转化。在实践中区分二者仍有意义，因为自然出现的复形方向不同——空间的奇异链构成链复形，而施加 Hom 或取微分形式则产生上链复形。这种复形的上同调，便是当下拓扑或代数理论中的上同调。