链复形

想象一排房间，房间之间由单向门相连，每扇门通向下一个房间，最后通向一个标着“空”的房间。这座建筑的规则是：如果你连续穿过两扇门，最终一定会走进那个空房间。链复形恰好把这条规则搬到了模上：一串箭头，连续作用两个箭头总得到零。正是这一个条件，使整套同调理论得以建立。

形式地说，环 R 上的链复形是一串 R 模与同态 ... -> C_{n+1} -> C_n -> C_{n-1} -> ...，其中映射 d_n : C_n -> C_{n-1}（称为边界映射或微分）对每个 n 满足 d_n ∘ d_{n+1} = 0。条件 d^2 = 0 等价于说 d_{n+1} 的像包含于 d_n 的核。ker(d_n) 中的元素称为 n 阶闭链（cycle），im(d_{n+1}) 中的元素称为 n 阶边缘（boundary）；每个边缘都是闭链。

复形在 C_n 处恰好正合，当且仅当 im(d_{n+1}) 等于 ker(d_n)，即除了显而易见的之外再无别的闭链。同调正是度量这一点失败的程度。这里的指标是同调式的（沿箭头方向次数递减）；同一套数据若让次数递增，则称为上链复形。任意环上的向量空间、阿贝尔群或模的链复形，是构建导出函子、分解和谱序列的基本对象。