阿贝尔范畴

阿贝尔范畴是这样一种范畴：它的行为足够像某环上的模范畴，以至于整套同调代数——核、上核、像、正合序列、图追踪——都能在其内部讲得通。其动机是恰好公理化做同调所需的特征，而不拘泥于真实的模，使同一套机器适用于层、链复形与表示。它是导出函子、Ext 与 Tor 的天然舞台。

阿贝尔范畴可分步定义为：一个带零对象、并具有彼此一致的全部有限积与余积的范畴（故它是加性的，每个 Hom 集都是阿贝尔群且复合双线性）；其中每个态射都有核与上核；并且关键地，其中每个单态射都是某态射的核，每个满态射都是某态射的上核。最后这条正规性公理迫出第一同构定理：每个态射都分解为映满到其像的满态射继以一个单态射，且像等于上像。

其结构意义由弗赖德–米切尔嵌入定理捕捉：每个小阿贝尔范畴都充分忠实且正合地嵌入某环 R 上的模范畴 R-Mod。所以阿贝尔范畴恰是“嵌入意义下的模范畴”，这为如下做法提供了依据：先在模中以元素追踪证明图引理（蛇引理、五引理），再在任何阿贝尔范畴中援引它们。标准例子包括 Ab、R-Mod、阿贝尔群层与有界链复形。