蛇形引理

蛇形引理是长正合序列得以涌现的小小奇迹。你从一个交换图出发，图中两条短正合序列上下叠放，由三个竖直映射相连。引理断言：这三个竖直映射的核与余核拼成一条正合序列——更关键的是，一个崭新的映射出现了，它如蛇般沿对角线从最右端的核蜿蜒下行至最左端的余核，连接起原本毫无直接联系的两行。

确切地说：给定一个交换图，其各行正合，上行为 A -> B -> C -> 0，下行为 0 -> A' -> B' -> C'，竖直映射为 f : A -> A'、g : B -> B'、h : C -> C'，则存在正合序列 ker f -> ker g -> ker h -> coker f -> coker g -> coker h。映射 ker h -> coker f 即连接同态。若另有 A -> B 为单射，则序列左端可延伸为 0 -> ker f；若 B' -> C' 为满射，则右端可延伸为 coker h -> 0。

连接映射由一次图追踪构造而成：把 ker h 中的元素提升到 B，向下推到 B'，发现它落在 A' 的像中，再模去 im f 拉回到 A'。其名得自该元素在图中描出的 S 形路径。逐次施加于复形的短正合序列时，蛇形引理恰好产生同调长正合序列的连接映射。