连接同态

连接同态是一个本不该存在却偏偏存在的映射。当你把一个复形拆成子部分与商部分时，它们的同调由显然的诱导映射相连，但仅凭这些会留下缺口。连接同态正是那个出人意料的额外箭头，它弥合这些缺口，跨越一个次数把商的同调重新系回子部分的同调，从而把整条链闭合成一条长正合序列。

它由蛇形引理施加于链复形的短正合序列 0 -> A -> B -> C -> 0 而来。连接映射 ∂ : H_n(C) -> H_{n-1}(A) 由图追踪定义：取 C_n 中的闭链 c，将它提升为 B_n 中某个 b（由满射性可行），对 b 施加微分得到 B_{n-1} 中的 d(b)，注意 d(b) 在 C 中映为零，故它来自 A_{n-1} 中唯一的 a，令 ∂[c] = [a]。可验证 a 是闭链，且该类不依赖于选取。

其定义性质是：所得序列 ... -> H_n(A) -> H_n(B) -> H_n(C) -> H_{n-1}(A) -> ... 在每一项处都正合——这正是长正合序列存在的全部缘由。连接映射对短正合序列是自然的，正因如此五引理才能比较不同的长正合序列。在上同调中它提升次数，∂ : H^n(C) -> H^{n+1}(A)，并支撑着每个导出函子的连接映射。