五引理

五引理是一员主力：它让你只需检查邻居，便能断定图中间的映射是同构。其直觉是，正合序列把各项锁得如此之紧，以至于五个竖直比较映射中若有四个表现良好，第五个便毫无余地，只能也是同构。这是证明两个构造一致的标准手段。

陈述：考虑一个交换图，其各行正合，对应各项之间有五个竖直映射 m_1、m_2、m_3、m_4、m_5。若 m_1、m_2、m_4、m_5 全是同构，则中间映射 m_3 是同构。证明是一次图追踪。事实上更精细的版本（有时称四引理）给出更多：若 m_2 与 m_4 是同构、m_1 是满射、m_5 是单射，则 m_3 是同构——并且可以分别孤立出 m_3 的单射性与满射性。

五引理正是自然性之所以重要的原因：当一个构造产生一个长正合序列之间的映射，而你知道它在除一项外的所有项处都是同构时，剩下那一项便自动成立。它被反复用来验证两个同调或上同调理论一致、某个拟同构诱导同构、以及谱序列中的比较映射是同构。