长正合序列

长正合序列是一座桥梁，让你能从较简单部分的同调计算出复杂对象的同调。设想你把一个复形撕成一个子部分和一个商部分。它们的同调并不能简单相加，但它们被一个反复出现的连接映射环环相扣——在每个次数上一遍又一遍——从而产生一条把三组同调群全部联系起来的无限正合序列。

确切表述：链复形的短正合序列 0 -> A -> B -> C -> 0 诱导出同调上的长正合序列 ... -> H_n(A) -> H_n(B) -> H_n(C) -> H_{n-1}(A) -> H_{n-1}(B) -> ...，向两端延伸。映射 H_n(A) -> H_n(B) 与 H_n(B) -> H_n(C) 来自链映射；映射 H_n(C) -> H_{n-1}(A) 是连接同态，它把次数降低 1。序列在每一项处都正合。

这条序列的存在性正是蛇形引理横贯整个复形所得的内容，也可以说是本学科中使用最频繁的单一计算工具。在上同调中序列方向相反，在连接映射处提升次数。每当一个不变量通过复形定义——同调、上同调、Ext 与 Tor 这类导出函子——输入的短正合序列就给出输出的长正合序列，把未知群化为已知群。