高斯消元法

当方程组有许多方程、许多未知数时，临时的小聪明就行不通了，你需要一套总能奏效的程序。高斯消元法正是这样的程序：一种把线性方程组系统地行化简成简单阶梯形、再轻松读出答案的方法。它以卡尔·弗里德里希·高斯命名，是手算与计算机求解线性方程组背后的主力。

该方法使用三种被允许的操作，称为初等行变换：交换两个方程、用一个非零数乘某个方程、把某个方程的若干倍加到另一个方程上。这些操作都不改变解集。你运用它们在对角线下方制造零，达到上三角形式，使最后一个方程只含一个未知数。

一旦化为那个三角形式，你就用回代来收尾——解出最底下的方程，把那个值向上输送，依次求回每个变量。这同一个算法还会诚实地告诉你：方程组何时无解（出现 0 = 非零的一行），或何时有无穷多解（出现全为零的一行）。用矩阵的语言说，你是在一个增广矩阵上执行这些操作，而增广矩阵不过是去掉了变量名的那些方程。