代数K理论
K_1
若说 K_0 清点模，则 K_1 度量自由模的对称性——可逆矩阵——但只在丢弃那些任何中学生靠初等行变换就能得到的之后才算。在域上，每个可逆矩阵都是若干初等运算再加一次伸缩的乘积，而剩下的那次伸缩恰好就是行列式。K_1 是行列式向任意环的推广：它捕捉当你尽其所能做行约化之后仍残留的阻碍。
设 GL(R) 为无限一般线性群，即诸群 GL(n, R) 在包含 A 映为 [A, 0; 0, 1] 下的并。其中坐落着由全体初等矩阵生成的子群 E(R)。怀特海引理表明 E(R) 恰为 GL(R) 的换位子群，故商 K_1(R) = GL(R) / E(R) 是阿贝尔群。具体地说，K_1(R) 是 GL(R) 的阿贝尔化：稳定可逆矩阵的最大阿贝尔商。
对交换环 R，行列式给出满射 K_1(R) -> R^*（单位群），并因可把一个单位视作 1x1 矩阵而分裂，故 K_1(R) = R^* ⊕ SK_1(R)，其中 SK_1(R) 是来自行列式为 1 的矩阵的特殊部分。对域、欧几里得整环和局部环，SK_1 为零，K_1(R) 就是单位群 R^*。SK_1 不为零是一个真正微妙、往往属于算术的现象。
对 R = Z，单位为 {+1, -1} 且 SK_1(Z) = 0，故 K_1(Z) = Z/2Z，由行列式的符号探测。对域 F，K_1(F) = F^*，即非零元素的乘法群。
K_1(Z) = Z/2Z，由行列式为 -1 的矩阵生成。
怀特海引理是这里的引擎：它断言 [E(R), E(R)] = E(R) 且 E(R) = [GL(R), GL(R)]，其证明依据是分块对角矩阵的任意换位子皆为初等矩阵这一恒等式。这正是 K_1 自动成为阿贝尔群、而无需在每个 GL(n) 层面手动取阿贝尔化的原因。
又称
另见