域的K理论
域是最简单的环，故其 K 群是天然的首座实验室：每个有限生成模都是向量空间，每个投射模都自由，低阶 K 群退化为熟悉的算术不变量。然而即便在此，域的高阶 K 群也深入数论的最深水域，编码着单位、布劳尔类、平展上同调以及 zeta 函数的特殊值。域的 K 理论底层渺小，上层却浩瀚。
对域 F：K_0(F) = Z（每个向量空间由维数决定）；K_1(F) = F^*，即单位的乘法群；而由松本定理，K_2(F) 由斯坦伯格符号 {a, b} 生成。存在从米尔诺 K 理论 K_n^M(F) 到奎伦 K 理论 K_n(F) 的自然满射；当 n 至多为 2 时它是同构，但一般而言不是。K_*(F) 中的挠由布洛赫–加藤猜想（现为罗斯特–沃耶沃茨基定理）支配，该结果把模 m 的米尔诺 K 理论与伽罗瓦上同调等同起来。
有两处尤为突出。K_2 与米尔诺 K 理论的 2 挠及符号结构支配布劳尔群：K_2(F)/2 经由四元数代数的符号满射到 Br(F) 的 2 挠之上。而对整体域与局部域，高阶 K 群携带算术：K_*(F_q) 在奇数阶为有限循环群，K_*(Q) 与 K_*(数域) 经由奎伦–利希滕鲍姆猜想与 zeta 值相联系，此猜想亦经布洛赫–加藤的机器获解。于是域的 K 理论是代数、算术与动机上同调的交汇点。
对 F = R，K_0(R) = Z，K_1(R) = R^*（同构于 Z/2Z 与正实数的积），而 K_2(R) 含阶为 2 的符号 {-1, -1}。对 F = Q，K_1(Q) = Q^* 分解为 Z/2Z 与素数上的自由阿贝尔群之积，反映了唯一分解。
对每个域 F，K_0(F) = Z，K_1(F) = F^*。
务必区分奎伦 K 理论 K_n(F) 与米尔诺 K 理论 K_n^M(F)：它们在 0、1、2 阶一致，更高阶则分道扬镳。例如 K_3(F) 在米尔诺符号之外还携带一个不可分解部分（与双对数相关），由布洛赫群刻画。