K理论局部化序列
局部化是把环中某些元素求逆——造出分式——的代数操作，人们想知道它如何改变 K 群。局部化序列正是回答此问的记账工具：它是一条长正合列，把原环的 K 理论、局部化后环的 K 理论，以及一个度量过程中确切丢失或取商之物的修正项，连结在一起。它是拓扑中序对长正合列的 K 理论对应物。
在最干净的情形，设 R 为戴德金整环（或正则诺特环），S 为乘性集，局部化 R -> S^{-1}R。奎伦的局部化定理给出长正合列 ... -> K_n(R 上的挠) -> K_n(R) -> K_n(S^{-1}R) -> K_{n-1}(R 上的挠) -> ...，其中首项是支于被求逆素理想之上的有限生成挠模范畴的 K 理论。由剥皮定理，该修正项分解为被 S 求逆的诸素理想 p 处剩余域 R/p 的 K 理论之和。
原型实例：对分式域为 F 的戴德金整环 R，序列读作 ... -> ⊕_p K_n(R/p) -> K_n(R) -> K_n(F) -> ⊕_p K_{n-1}(R/p) -> ...，求和遍历非零素理想 p。在零阶它复原联系类群、单位与除子映射的正合列；在更高阶它是计算 K_*(Z) 与整数环 K_* 的引擎。该序列依赖奎伦的分解定理、剥皮定理与局部化定理，并可推广到概形。
对 R = Z，F = Q，序列在 (1, 0) 处的部分是 0 -> K_1(Z) -> K_1(Q) -> ⊕_p K_0(F_p) -> K_0(Z) -> K_0(Q) -> 0，它展开为 Q^* = {±1} 与素数上自由群之积，其中除子映射把一个有理数送到它在每个素数 p 处的阶。
Z 的局部化序列复原 Q^* 上的除子映射。
对任意诺特环的 G 理论（所有有限生成模的 K 理论），局部化序列总正合；但对寻常 K 理论，则需要正则性，因为要比较局部化前后的投射模，需有有限投射维数。这一正则性假设的失效，恰是负 K 理论所度量者。