负K理论
正的 K 群 K_0, K_1, K_2, ... 向上攀升，但还有一层地下室：负阶的 K 群 K_{-1}, K_{-2} 等等。它们由巴斯在高阶理论尚未出现之前定义，充当奇点的探测器。对光滑或正则的环，地下室空无一物——所有负 K 群都为零——故一个非零的负 K 群正是“该环（或概形）非正则”的精确代数信号。
巴斯用洛朗多项式环 R[t, t^{-1}] 通过下降递归定义负 K 群。K 理论的基本定理给出 K_n(R[t, t^{-1}]) = K_n(R) ⊕ K_{n-1}(R) ⊕（两个 nil 项），巴斯利用类似的分裂把 K_{-1}(R) 定义为 K_0(R[t]) ⊕ K_0(R[t^{-1}]) -> K_0(R[t, t^{-1}]) 的余核，再迭代：K_{-n}(R) = K_{-n+1}(R[t, t^{-1}]) / (收缩部分)。等价地，以现代语言说，K(R) 延拓为一个在所有整数阶都有同伦群的谱，其负的同伦群即负 K 群。
关键的结构事实是正则性：若 R 是正则诺特环，则对所有 n 大于 0 有 K_{-n}(R) = 0，并且 K_n(R[t]) = K_n(R)（同伦不变性）。当这些失效时，负 K 理论不为零，度量着此缺陷。负 K 群的消没、有限性与行为由韦贝尔猜想（现为克尔茨–施特伦克–塔姆的定理）支配：对维数为 d 的诺特概形，n 大于 d 时 K_{-n} 为零，故地下室的深度以维数为界。
结点三次曲线的坐标环 R = k[x, y]/(y^2 - x^3 - x^2)，是一个带奇点的一维环，其 K_{-1}(R) = Z 不为零，因为该曲线在结点处非正则。它的正规化（正则模型）满足 K_{-1} = 0，故 K_{-1} 恰好看见了那个奇点。
结点三次曲线的 K_{-1} 为 Z，探测到奇点。
完整的巴斯基本定理把这一切打包：K_n(R[t, t^{-1}]) 分裂为 K_n(R) ⊕ K_{n-1}(R) ⊕ NK_n(R) ⊕ NK_n(R)，其中 NK 项是 nil K 群，恰当 R 为 K_n 正则时为零。于是负 K 理论、nil K 理论与同伦不变性的失效，是非正则性的三副面孔。