正定

正定形式的行为就像一个货真价实的长度平方概念：每个非零向量都取严格为正的值，唯有零向量量出零。正是这一性质使对称形式能充当内积，给出真正的距离与角度，而不潜藏退化的或为负的‘长度’。

在 R（或任意有序域）上，若对每个 v ≠ 0 都有 Q(v) > 0，则二次形式 Q 正定；此时伴随的对称双线性形式是一个内积。用符号差来说即 (p, q) = (n, 0)：所有对角元为正，满秩。对称矩阵 A 正定，当对一切 x ≠ 0 有 x^T A x > 0，等价地其所有特征值为正。

有若干判别法可检测正定性：西尔维斯特判据要求 A 的每个顺序主子式为正；或者所有特征值为正；或者 A = P^T P 对某个可逆 P 成立（一种乔列斯基型分解）。较弱的概念半正定允许 Q(v) ≥ 0 且非零 v 处可取等号，对应于 p < n 的 (p, 0) 与非平凡的根基。