西尔维斯特惯性定律

你可以用许多方式把一个实二次形式对角化，对角线上具体的数字会因方法而异。然而西尔维斯特惯性定律说有一件事始终不变：其中有多少个数为正、多少个为负。再巧妙的坐标选择也无法把一个正方向变成负方向。因此符号差并非记账的产物，而是形式的真实属性。

陈述：若一个实对称双线性形式（等价地一个实二次形式）在两组不同的基下都化为对角形，则正对角元的个数 p 与负对角元的个数 q 在两组下相同。等价地，使 Q 正定的子空间的最大维数等于 p，使 Q 负定的子空间的最大维数等于 q；这些维数与基无关，从而迫使对角计数一致。

该结果由西尔维斯特于 1852 年发表，是实分类的基石：它使 (p, q) 成为良定义的不变量，故两个实形式合同当且仅当它们维数与符号差相同。证明通常论证：一个正定子空间与负、零对角方向的张成空间必只交于零，从而给出 p 的上界，对称地给出 q 的上界。该定律在 C 上失效（符号可被吸收），在无序域上亦然。