形式的对角化

一般的二次形式带有像 x_1 x_2 这样的混杂交叉项，把变量纠缠在一起。形式的对角化意味着选取更好的坐标，使所有交叉项消失，只剩下加权平方之和，如 a_1 y_1^2 + … + a_n y_n^2。从几何上看，你是在旋转并伸缩坐标轴，直到它们与形式的自然方向对齐。

形式上，对称双线性形式 B 的对角化就是找到一组正交基 e_1, …, e_n，即对 i ≠ j 有 B(e_i, e_j) = 0；在此基下格拉姆矩阵为对角矩阵。在任何特征不为 2 的域上，每个对称双线性形式都存在这样的基——反复配方，或在无迷向障碍时用格拉姆–施密特过程，都能构造性地得到。

对角化并不唯一：对角元可被平方数缩放并重排，故只有它们的模式才重要。在 R 上，正、负、零元的计数是不变量（由西尔维斯特定律给出的符号差）。在 C 上，每个非零元都可化为 1。在 Q 上，模平方的对角元连同哈塞不变量共同编码了真正的算术信息。须注意：这是合同对角化，不同于特征值对角化，尽管对实对称矩阵而言谱定理能通过正交换基同时实现二者。