双线性与二次形式
合同矩阵
两个矩阵合同，是说它们其实是同一个双线性形式，只是经由两种不同的基来看。正如相似 (P^{-1} A P) 是线性算子的恰当等价，合同 (P^T A P) 是双线性形式的恰当等价——因为形式的矩阵随换基矩阵的转置而非其逆变换。
确切地说，域 K 上的方阵 A 与 A' 合同，是指存在可逆矩阵 P 使 A' = P^T A P。这是一个等价关系，且 A、A' 合同当且仅当它们在由 P 关联的两组基下表示同一个双线性形式。合同保持对称性（若 A 对称则 P^T A P 对称）、秩、以及在 R 上的符号差；它一般不保持特征值，故合同与相似确实不同。
形式的分类恰是对称矩阵在合同意义下的分类，且依赖于域。在 C 上，每个非奇异对称矩阵都合同于单位阵。在 R 上，合同类由符号差标记（西尔维斯特）。在 Q 上分类微妙，属于哈塞–闵可夫斯基定理的范畴，以秩、模平方的判别式、以及哈塞不变量为决定性数据。
A = [1, 0; 0, 2] 与 A' = [3, 1; 1, 1] 在 R 上通过某个 P 合同，因二者皆为秩 2 的 2×2 对称阵，行列式为正（det A = 2，det A' = 2），且符号差相同 (2, 0)。它们未必相似：其特征值不同。
合同但不相似的 2×2 对称矩阵。
又称
另见