哈塞不变量

在实数上，同秩的两个二次形式由其符号差区分开。但在 p-进域上没有序，因而没有符号差，然而形式仍有若干不等价的形态——故需要另一种指纹。哈塞不变量正是这指纹：一个取值于 {±1} 的类符号量，由希尔伯特符号构造，记录着秩与判别式所看不见的微妙的‘哪些乘积是范数’的信息。

给定域 K 上配有希尔伯特符号 (·,·) 的非退化对角形式 ⟨a_1, …, a_n⟩，哈塞不变量是希尔伯特符号 (a_i, a_j) 对所有 i < j 之乘积（一种常见约定；有些作者取 i ≤ j 或采用不同符号）。它不依赖于对角化基，故为形式的不变量。在 p-进域 Q_p 上希尔伯特符号取值 ±1，故哈塞不变量是单个符号。

其决定性作用在于局部分类：在 Q_p 上，一个非退化二次形式由其维数、其在 K*/K*^2 中的判别式、以及其哈塞不变量在等距意义下确定——一份干净的有限不变量清单。把这些局部数据在所有完备化上拼接起来，哈塞–闵可夫斯基（局部–整体）定理就分类了 Q 上的形式：两个形式在 Q 上等距当且仅当它们在 R 上以及在每个 Q_p 上都等距。哈塞不变量因而是开启有理二次形式整体理论的局部钥匙。