双线性与二次形式
维特环
为了在一个域上分类二次形式，人们希望有一个单一的代数装置，其元素是形式，其运算映照形式如何组合。维特环正是如此：把域上所有非迷向形式封装成一个环，以正交和为加法、以张量积为乘法，并约定忽略那些不携带非迷向内容的‘平凡’双曲平面。
构造：在特征不为 2 的域 K 上，考虑等距意义下的非退化二次形式。正交和给出一个交换幺半群；维特消去使人能作格罗滕迪克群，再对由双曲平面 H 生成的理想取商。所得 W(K) 是一个交换环：加法是正交和，乘法是张量积，两个形式在 W(K) 中相等当且仅当其非迷向核等距。由维特分解，每个类都有唯一的非迷向代表元。
维特环浓缩了域的算术。W(C) ≅ Z/2Z，W(R) ≅ Z（经由符号差），而对有限域 W(F_q) 小而明确。由偶维形式构成的基本理想 I 给出一个滤过，其分次片 I^n/I^{n+1} 由模 2 的米尔诺 K-理论与伽罗瓦上同调计算——即由沃耶沃茨基证明的米尔诺猜想——使 W(K) 成为二次形式、K-理论与上同调的交汇点。
在 R 上，每个非迷向形式都是 ±（正定形式），故 W(R) ≅ Z，其中符号差为 (p, q) 的 n 维形式之类映到 p − q；符号差为 (1, 1) 的双曲平面 H 映到 0，理应如此。
R 的维特环是 Z，记录着符号差。
微妙之处：有些作者称 W(K) 为二次形式的维特环，而把消去双曲项之前的形式所成的环另称为维特–格罗滕迪克环 GW(K)；W(K) = GW(K) 模去双曲理想。
又称
另见