双曲平面

双曲平面是最简单的非平凡‘混合符号’几何：一个二维空间，其上的二次形式自带一对类光方向。它是不定形式的万有构件——在任意域上，每个非退化的迷向形式都含有一个，剥除它们之后留下一个非迷向核。（这是形式理论中的对象；它与同名的非欧几何中的双曲平面毫无关系。）

具体地说，域 K 上的双曲平面 H 是二维二次空间，具有满足 Q(e) = Q(f) = 0 与 B(e, f) = 1 的一组基 e, f；在基 (e, f) 下形式为 Q(x e + y f) = 2xy，格拉姆矩阵为 [0, 1; 1, 0]。等价地，经变换 u = x + y, v = x − y 后它是 x'^2 − y'^2（至多差一缩放），即 R 上符号差为 (1, 1) 的标准分裂形式。它非退化、迷向，维特指数为 1。

双曲平面是维特环的‘零’：H 代表平凡类，而一个形式是双曲的（若干 H 的正交和）当且仅当它在 W(K) 中为零。由维特分解，任意非退化形式都唯一地是若干个 r 双曲平面（r 即维特指数）与一个非迷向部分的正交和。于是双曲平面恰好携带了形式的全部迷向内容、且仅此而已。