双线性与二次形式
非退化形式
非退化形式没有任何‘死’方向。若某向量与空间中一切都正交，非退化形式就迫使它必为零向量——不存在形式完全视而不见的非零方向。正是这一条件使形式成为忠实的配对，能把空间与它自身的对偶等同起来。
形式上，V 上的双线性形式 B 称为非退化（或非奇异）的，若其根基为零：唯一满足对一切 w ∈ V 有 B(v, w) = 0 的 v 是 v = 0。等价地，诱导映射 V → V*（把 v 送到 B(v, −)）是单射，从而在有限维下是同构。用矩阵语言，B 非退化当且仅当其格拉姆矩阵可逆，当且仅当其行列式非零，当且仅当秩等于 dim V。
非退化是深层理论的常设前提：此时正交补满足 dim W + dim W-perp = dim V 且 (W-perp)-perp = W，维特定理适用，正交群在固定非零取值的向量上传递地作用。须仔细区分非退化与非迷向：x^2 − y^2 非退化却有迷向向量，所以非退化允许自正交向量存在，仅禁止与整个空间正交的向量。
R^2 上格拉姆矩阵为 [0, 1; 1, 0]（即 B(x, y) = x_1 y_2 + x_2 y_1）的形式非退化，因 det = −1 ≠ 0，尽管 e_1 与 e_2 都迷向：B(e_1, e_1) = 0 但 B(e_1, e_2) = 1，故 e_1 并非与整个 V 正交。
一个其基向量皆迷向的非退化形式。
又称
另见