形式的秩

空间中某些方向对一个形式是‘隐形’的——无论搭配谁，把它们喂进去总返回零。秩衡量的是真正‘起作用’的方向有多少：把这些盲方向（即根基）商去之后，形式非平凡部分的大小。满秩的形式洞察一切；秩不足则意味着形式在某个子空间上退化。

确切地说，双线性或二次形式的秩就是其任一格拉姆矩阵的秩。由于换基把 G 替换为合同矩阵 P^T G P（P 可逆），秩保持不变——它是合同不变量，因而是形式本身的不变量。等价地，秩等于 V 的维数减去根基的维数，根基即与 V 中所有向量都正交的向量构成的子空间。

对角化之后，秩就是非零对角元的个数。形式非退化当且仅当秩等于 dim V，当且仅当格拉姆矩阵可逆，当且仅当根基为零。在 R 上，秩等于 p + q，其中 (p, q) 是符号差；差 p - q 以符号信息细化了秩，而单凭秩会丢弃这一信息。