双线性与二次形式
格拉姆矩阵
双线性形式是抽象的双输入机器，但要用它做计算，你需要数字。格拉姆矩阵就是记账工具：选定一组基，把形式在每一对基向量上的取值记录下来。一旦握有这张有限的表，形式在任意两个向量上的取值都可由代入坐标得到——整个无穷的形式就被一个有限矩阵所捕获。
给定 V 的一组基 e_1, …, e_n 与双线性形式 B，格拉姆矩阵 G 的元素为 G_ij = B(e_i, e_j)。于是对坐标列为 x、y 的向量有 B(u, v) = x^T G y。形式对称当且仅当 G 对称，交错当且仅当 G 交错，非退化当且仅当 G 可逆。对于实空间上的内积，G 是对称正定的。
用可逆矩阵 P 换基，会把 G 替换为 P^T G P——这是合同（congruence），不是相似（出现的是 P^T 而非 P^{-1}）。因此‘不同坐标下的同一形式’的恰当概念是矩阵的合同，而形式的不变量恰好是其格拉姆矩阵的合同不变量：秩、模平方的判别式，以及在 R 上的符号差。
对 R^2 上的 B(x, y) = x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + 3 x_2 y_2，格拉姆矩阵为 [1, 1; 1, 3]。其行列式 3 - 1 = 2 > 0 且首项 1 > 0，故该形式正定。
一个通过正定性检验的 2×2 格拉姆矩阵。
又称
另见