双线性形式
把它想成一台有两个输入口的机器：每个口各喂入一个向量，它就吐出一个标量。其关键特征在于，若把一个输入口固定住，机器在另一个口上就像普通的线性映射：该输入翻倍则输出翻倍，输入相加则输出相加。由于这一性质在每个口上各自成立——故称‘双’线性——它正是线性泛函的两参数自然推广。
确切地说，设 V 是域 K 上的向量空间，双线性形式是一个映射 B：V × V → K，使得固定第二个参数时映射 u ↦ B(u, v) 是 K-线性的，固定第一个参数时映射 v ↦ B(u, v) 也是 K-线性的。等价地，B(au + bu', v) = aB(u, v) + bB(u', v) 且 B(u, av + bv') = aB(u, v) + bB(u, v') 对一切标量 a, b 成立。一旦选定 V 的一组基，B 便由其格拉姆矩阵 G 编码，其元素 G_ij = B(e_i, e_j)，于是 B(u, v) = x^T G y，其中 x, y 是 u, v 的坐标列。
双线性形式不必对称：B(u, v) 与 B(v, u) 可以不同。当 K 的特征不为 2 时，任意 B 都可分解为对称部分与交错部分之和，而对称部分正是产生二次形式的来源。R^n 上的点积、对任意固定矩阵 A 的形式 x^T A y、以及空间与其对偶空间之间的配对，都是典型例子。
在 R^2 上取 B(x, y) = x_1 y_1 + 2 x_1 y_2 - x_2 y_2，格拉姆矩阵为 [1, 2; 0, -1]。则 B((1,1),(1,1)) = 1 + 2 - 1 = 2，且固定第二个参数时它对第一个参数线性。
一个非对称的双线性形式及其格拉姆矩阵。
双线性是相对于同一个域而言的。若映射在两个参数上各自线性，但在其中一个上是共轭线性的（如复内积空间上那样），那是半双线性形式，而非双线性形式；这一区别在 C 上至关重要。