多重线性代数与张量代数
交错形式
交错形式是一种多重线性的度量：只要它的两个输入相同，就自动返回零——好比一台体积计，对任何被压扁、退化的盒子都读出零。这条单一的『遇重复即坍缩为零』要求，编码了行列式与有向体积的全部符号与定向行为。
设 V 是 R 上的模。若 k-重线性形式 f: V × ... × V -> R 满足：当存在 i ≠ j 使 v_i = v_j 时 f(v_1, ..., v_k) = 0，则称 f 为交错的。由多重线性可推出反对称性：交换任意两个变量使取值乘以 −1，更一般地按 σ 置换各变量使取值乘以符号 sgn(σ)。在 2 可逆的域上，遇重复即为零与反对称性两条件等价；在特征 2 中，遇重复为零的条件才是正确的、更强的那条。
V 上的交错 k-形式恰是 Λ^k(V) 上的线性泛函：它们的空间是 Λ^k(V)*，当 dim V = n 时维数为 C(n, k)。n 维空间上唯一的（至多差一标量）交错 n-形式，规范化为把固定基送到 1，就是行列式。交错形式是几何中微分形式在线性代数里的影子。
在 R^2 上，f((a, b), (c, d)) = ad − bc 是交错 2-形式：f(v, v) = 0，且 f(w, v) = −f(v, w)。它是唯一把 (e_1, e_2) 送到 1 的交错 2-形式——即行列式。
2 × 2 行列式是最基本的非平凡交错形式。
又称
另见