楔积

楔积是一种记住定向、拒绝重复的乘法。把两个向量做楔积，得到它们张成的有向平行四边形；交换顺序会翻转定向与符号，而一个向量与自身楔积为零，因为退化的平行四边形没有面积。它正是驱动外代数与有向体积计算的乘积。

形式地说，∧ 是外代数 Λ(V) 的乘法，由张量代数中的拼接在施加 v ∧ v = 0 后继承而来。定义性的恒等式有：对每个口的双线性、反对称性 v ∧ w = −w ∧ v，以及更一般的分次交换律：若 α 次数为 p、β 次数为 q，则 α ∧ β = (−1)^{pq} β ∧ α。一个 p-形式与一个 q-形式的楔积落在 p + q 次。

楔积 v_1 ∧ ... ∧ v_k 为零当且仅当 v_1、…、v_k 线性相关，故非零的可分解楔积对应于带定向与尺度的 k 维子空间——这正是普吕克坐标与格拉斯曼流形所利用的几何内涵。楔积也是微分形式演算的基石，并是行列式背后的运算。