双线性与二次形式
极化恒等式
若你只知道各向量的长度平方，能否还原出产生它们的点积？出人意料地，可以——极化恒等式正是做这件事的公式。它由单输入的‘平方’函数重建出双输入的对称配对，正如普通代数中你能由 (a+b)^2、a^2 与 b^2 还原出 ab 一样。
给定二次形式 Q 及其极形式 B(u, v) = Q(u + v) - Q(u) - Q(v)，由 Q 还原出的对称双线性形式为 B(u, v) = (1/2)[Q(u + v) - Q(u) - Q(v)]，此式在域中 2 可逆时成立。等价地 B(u, v) = (1/4)[Q(u + v) - Q(u - v)]。无论哪种写法，该形式都完全由其在单个向量上的值 Q(v) = B(v, v) 所确定。
其隐藏前提是 2 必须可逆。在特征 2 的域上，因子 1/2 毫无意义，极化失效：不同的二次形式可以共享同一个极双线性形式——这正是那里要把二次形式当作原始对象的原因。因此极化恒等式是一座桥，它使‘对称双线性形式’与‘二次形式’在特征非 2 时可以互换。
对 R^n 上的 Q(x) = |x|^2，极化给出点积：(1/4)(|x+y|^2 - |x-y|^2) = x · y。试取 x = (1,0)，y = (0,1)：(1/4)(2 - 2) = 0，正确地反映了 e_1 与 e_2 的正交。
由范数平方还原点积。
同样的技巧也出现在内积空间中，用以由范数还原内积；在更高次数下，它表现为由对角限制还原对称多重线性映射的公式。
另见