单李代数

正如素数是算术中乘法意义下的原子，单李代数就是构建一切半单李代数的不可再分的原子。单李代数无法被拆成更小的理想；它没有可供取商抹去的内部结构。令人惊叹的事实是：在复数上，这样的原子只有寥寥几个，而且已被完全分类。

李代数 L 若非阿贝尔且除 0 与 L 自身外没有别的理想，则称为单的。非阿贝尔这一条排除了 1 维代数（它没有真理想，但太平凡而不计入）。单性迫使 [L, L] = L，所以单李代数根本没有阿贝尔商。半单李代数恰好就是有限个单李代数的直和。

在特征零的代数闭域（如 C）上，单李代数由连通邓金图分类：经典族 A_n = sl(n+1)、B_n = so(2n+1)、C_n = sp(2n)、D_n = so(2n)，以及五个例外型 G_2, F_4, E_6, E_7, E_8。这是数学中最深刻、最美的分类定理之一，归功于基灵与卡当。